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Uncertainty

I. 불확실성의 이해

불확실성이란 언어 그대로 확실하지 않는 경우를 말한다. 확실하지 않은 경우라 쓸모 없는 개념일 듯? 배제하고 싶은 생각이 문뜩 들기도 하겠지만 역으로 활용하면 도움이 되기도 한다. 가령, (아래 예는 Artificial Intelligence: A Modern Approach에서 참고) 충치가 있을 경우 이빨이 아프다라는 경우를 논리로 표현해 보면 아래와 같다. 

if(cavity)
    toothache   -----------------  (식1)

위 식1은 하나의 논리로써는 명확하지만 명제로써 참과 거짓을 구별할 때 과연 참인 명제일까? 충치가 있으면 항상 이빨이 아플까? 항상은 아닐 것이다. 그렇다고 하여 아래 식처럼 또 다른 조건을 추가해서 조건을 강화해 보면 어떨까? 

if(cavity && disease_of_gum)
    toothache   -----------------  (식2)

위 (식2)가 (식1)보다는 참일 가능성이 높긴 높을 것이다. 그렇다하더라도 (식2) 역시 항상 참인 명제는 아닐 것이다. 아마도 (식1), (식2)와 같은 논리로 참인 명제를 만들기 위해서는 이빨이 아플 경우의 모든 경우의 조건들을 붙여야만 할 것이다. 과연 그것이 가능할까? 결국 논리로는 참인 명제를 만드는 것이 불가능하고 할 수 있다. 결국 이빨이 아픈 경우를 나타내는 참 명제를 만들고자 할 경우 논리로는 만들 수가 없다는 결론에 도달할 수 있다 논리 자체가 명확한 특성이 있기에 모든 경우의 수(들)를 알지 못하면 논리의 빈틈을 채울 수가 없기 때문이다. 그렇다면 참인 명제를 만들수는 없을까? 불확실성 또는 모호함이 바로 그 해답이다.

II. 불확실성의 표현 수단

애매모호한 불확실성을 표현하는 수단으로는 크게 확률(Probability)?과 신념(belief)이라는 표현 수단이 있다. 확률은 불확실성한 명제 혹은 이벤트에 대하여 0~1 사이의 값으로 매핑한 것으로 위 예를 확률로 표현하면 아래와 같다. 

P(toothache|cavity) = 0.3  ------ (식3)

위 확률 표현식을 풀이하면, 충치가 있을 경우 이빨이 아플 경우의 확률이 0.3인 셈이다. 또는 10 건의 충치가 발생하면 이빨이 아픈 경우가 세번 정도 발생한다. 라는 것을 명시적으로 표현한 것이다. 논리로 구석 구석 채울 수 있는 조건들을 단번에 0.3라는 숫자 하나로 표현한 것이다.

그렇다면 신념은 무엇인가? 언뜻 보기에는 신념과 확률을 구분하기가 힘들수도 있다. 사실 신념 역시 0에서 1사이의 실수로 표현되며, 확률과 비슷한 방식으로 조작된다. 다만 신념(belief)에 관련된 공리들은 확률보다 덜 엄격하며, 다루가가 더 쉽다. 예로 어떤 한 사건과 부정의 합이 확률은 반드시 1이어야 하지만 신념에서는 1일 필요가 없다. 결론을 뒷받침하는 증거가 부족하다면(신념이 부족하다면) 신념들의 합은 1보다 작을 수 있다. (물론 1보다 더 큰 값일 수는 없다.)

좀 더 신념(belief)과 관련된 몇 가지 개념들을 살펴보자.

  • 신뢰성(credibility) : 증거가 단정을 '명시적으로 뒷받침하는' 정도를 나타낸다. 기존 확률에서 표현된 값으로 생각하면 될 듯 하다.
  • 개연성(plausibility): 증거가 단정을 '뒤엎지 않을 ' 정도를 나타낸다. 일종의 신념이 부가되어 신뢰성보다는 높은 경우 정도를 나타낸다고 볼 수 있다.

가령 (식3)을 신념 기반으로 표현하면 Bc (충치에 따라 이빨이 아픈 정도의 신뢰성) = 0.3
Bp (충치에 따라 이빨이 아픈 느낌) = 0.5
따라서 0.3~0.5 정도의 경우로 충치에 따라 이빨이 아픈 경우를 범위 정도로 나나낼 수 있음을 확인할 수 있다. 즉 신념은 확률의 범위까지를 표현할 수 있어 모호함이나 불확실성에 대한 정도를 한층 더 높은 경우라 할 수 있다.

참고